On pourra facilement calculer le carré d'un nombre si on sait calculer le carré de son précédent, par exemple si on veut calculer 61 × 61, on calcule d'abord le carré de 60 qui égale à 3600 et on procède comme suit :
Calculer : 61 × 61
Étape 1 : Calculer le carré de 60 le précédent de 61 , càd, 60 × 60 = 3600
Étape 2 : Multiplier 61 par 2 puis retrancher 1, càd, (61 × 2) - 1 = 121
Étape 3 : additionner le résultat de l'étape 1 et l'étape 2, càd, 3600 + 121 = 3721
Pour calculer facilement le produit d'un nombre par 125, On multiplie ce nombre par 1000 (on place 000 à droite de ce nombre) et on le divise par 2 trois fois consécutivement, exemple 68 × 125 :
Calculer : 68 × 125
Étape 1 : Placer 000 à droite de 68, càd, 68000
Étape 2 : Diviser le résultat de l'étape 1 par 2, càd, 68000 / 2 = 34000
Étape 3 : Diviser le résultat de l'étape 2 par 2, càd, 34000 / 2 = 17000
Étape 4 : Diviser le résultat de l'étape 3 par 2, càd, 17000 / 2 = 8500
Conclusion 68 × 125 = 8500
Calculer : 16 × 125
Étape 1 : Placer 000 à droite de 68, càd, 16000
Étape 2 : Diviser le résultat de l'étape 1 par 2, càd, 16000 / 2 = 8000
Étape 3 : Diviser le résultat de l'étape 2 par 2, càd, 8000 / 2 = 4000
Étape 4 : Diviser le résultat de l'étape 3 par 2, càd, 4000 / 2 = 2000
Le but de ce cours est de vous montrer comment tracer le cercle circonscrit à un triangle quelconque en mobilisant toutes les connaissances sur la médiatrice d’un segment et les propriétés s’y rattachant.
A partir d’un cercle, il est facile d’inscrire un triangle : il suffit de prendre 3 points sur le cercle :-)
Réciproquement, il est moins simple, à partir d’un triangle, de tracer le cercle qui passe par ses 3 sommets (on dit que le cercle est circonscrit au triangle).
Définition :
Le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Construction :
Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC doit être à l’intersection de la médiatrice de [AB] et celle de [BC], ce qui donne OA = OB = OC et donc O est aussi sur la médiatrice de [AC].
Dans la vidéo ci-après, on va tracer le cercle circonscrit au triangle ABC en utilisant le programme suivant :
On trace la médiatrice de [AB]
On trace la médiatrice de [BC]
Ces deux médiatrice se coupent en un point O, on trace alors le cercle de centre O et qui passe par A : il passe aussi par B et C, regardez :
Ce cours explique comment construire la bissectrice d'un angle en utilisant deux méthodes :
Construire la bissectrice d'un angle avec un rapporteur et une règle (non graduée).
Construire la bissectrice d'un angle avec un compas et une règle (non graduée).
Mais avant de commencer les constructions, voici la définition de la bissectrice d'un angle:
Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Construction de la bissectrice :
Première méthode : construire la bissectrice d'un angle avec un rapporteur et une règle (non graduée)
- On place le rapporteur sur l’angle.
- On mesure l’angle.
A l’aide de la règle on trace la demi-droite [OT) qui est la bissectrice de l’angle xOy
Deuxième méthode : Construire la bissectrice d'un angle avec un compas et une règle (non graduée)
Pour tracer la bissectrice de l’angle, on trace un arc de cercle de centre O qui coupe les deux demi-droites [Ox) et [Oy) en deux points.
A partir de ces deux points on trace deux arcs de cercle de même rayon. Ces deux arcs doivent se couper en un point T.
La demi-droite [OT) est la bissectrice de l'angle, voici la construction en vidéo :
Pour Multiplier deux nombres de deux chiffres dont les dizaines sont égales et dont la somme des chiffres des unités est 10 par exemple 38 × 32 procéder comme suit :
Les deux nombres 38 et 32 possèdent le même chiffre de dizaines et on : 8 + 2 = 10
Étape 1 : Multiplier le chiffre de dizaines avec son successeur c-à-d 3 ×
( 3 + 1 ) = 3 ×
4 = 12
Étape 2 : Multiplier les chiffres des unités c-à-d 8 × 2 = 16
Étape 3 : Placer le résultat de l'étape 2 à droite de 12 c-à-d
1216
Conclusion : 38 × 32 =
1216
Un autre exemple : 43 × 47
Les deux nombres 43 et 47 possèdent le même chiffre de dizaines et on : 3 + 7 = 10
Le truc suivant permet de calculer facilement le produit de 11 et un nombre entre 10 et 99 (exemple 11 × 45). Pour multiplier un nombre de deux chiffres et 11, on suit les étapes :
45 est composé de 4 dizaines et 5 unités
Étape 1: on sépare les 2 chiffres de 45 d'un cran comme ça : 4?5 en les additionnant 4 + 5 = 9
Étape 2 : remplacez ? par 9
Conclusion : 11 × 45 = 495
Un autre exemple : 11 × 67
Étape 1 : 6?7 et 6 + 7 = 13 (13 composé d'une dizaines et 3 unité)
Étape 2 : On remplace ? par 3 en ajoutant 1 à 6
Conclusion : 11 × 67 = 737
On peut utiliser la règle graduée pour placer le milieu d'un segment, mais aussi on peut le tracer avec le compas et la règle non graduée comme on a déjà vu pour la construction de la médiatrice (voir ici). Retrouvez dans la vidéo ci-après la construction du milieu d'un segment avec le compas et la règle non graduée :
Définition : Le milieu d’un segment [AB] est le point I du segment [AB] tel que les segments [IA] et [IB] aient la même longueur.
Ce cours explique comment construire la médiatrice d'un segment en utilisant deux méthodes :
- Construire la médiatrice d'un segment avec un compas et une règle non graduée.
- Construire la médiatrice d'un segment avec une règle graduée et une équerre.
Mais avant de commencer les constructions, voici une petite définition à apprendre :
Définition : La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire au segment [AB].
Construction de la médiatrice d’un segment :
Première méthode : construction de la médiatrice d’un segment avec une règle graduée et une équerre
1- Placer le milieu M du segment avec la règle.
2- Trace la perpendiculaire à [AB] passant par M avec l’équerre.
3- prolonge ensuite le trait avec la règle pour obtenir toute la médiatrice
Deuxième méthode : construction de la médiatrice d’un segment avec un compas et une règle non graduée
Pour tracer la médiatrice du segment [AB], il faut en connaître deux points.
On sait que les points de la médiatrice de [AB] sont à égale distance de A et de B. Pour tracer un point à égale distance de A et de B, on utilise le compas en traçant deux arcs de cercle de centre A et B respectivement et de même rayon. Voici la construction en vidéo :
Propriétés de la médiatrice :
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à la même distance des deux extrémités du segment.
Propriété 2 : Si un point est à égale distance des deux extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Le truc suivant permet de calculer facilement les carrés des nombres entiers qui se terminent par 5. Par exemple si on veut calculer le carré de 85 on procédure comme suit :
85 est composé de 8 dizaines et 5 unités
Étape 1 : On prend le nombre de dizaines multiplié par son successeur
c-a-d : 8 x ( 8 + 1 ) = 8 x 9 = 72 (Cela donne le nombre de centaines du résultat)
Étape 2 : On écrit alors 25 à droite du nombre de centaines pour obtenir le résultat.
